Question

（2008•鄂州）（1）如圖，A₁，A₂，A₃是拋物線y=x²圖象上的三點，若A₁，A₂，A₃三點的橫坐標從左至右依次為1，2，3．求△A₁A₂A₃的面積．
（2）若將（1）問中的拋物線改為y=x²-x+2和y=ax²+bx+c（a＞0），其他條件不變，請分別直接寫出兩種情況下△A₁A₂A₃的面積．
（3）現有一拋物線組：y₁=x²-x；y₂=x²-x；y₃=x²-x；y₄=x²-x；y₅=x²-x；…依據變化規律，請你寫出拋物線組第n個式子y_n的函數解析式；現在x軸上有三點A（1，0），B（2，0），C（3，0）．經過A，B，C向x軸作垂線，分別交拋物線組y₁，y₂，y₃，…，y_n于A₁，B₁，C₁；A₂，B₂，C₂；A₃，B₃，C₃；…；A_n，B_n，C_n．記為S₁，為S₂，…，為S_n，試求S₁+S₂+S₃+…+S₁₀的值．
（4）在（3）問條件下，當n＞10時有S_n-10+S_n-9+S_n-8+…S_n的值不小于，請探求此條件下正整數n是否存在最大值？若存在，請求出此值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線解析式，求出A₁，A₂，A₃三點的坐標，根據圖中幾何關系把所求三角形的面積，轉化為一個大梯形面積減去兩個小梯形的面積，從而求出三角形的面積．第二問與第一問解法一樣；
（3）由y₁，y₂…y₅的表達式，歸納出y_n的表達式，同時推出面積公式S_n，然后求和．
（4）由（3）的結論，先求和再求n是否存在最大值．
解答：解：（1）∵A₁（1，），A₂（2，1），A₃（3，），（1分）
∴S_△A1A2A3=S_梯形A1ACA3-S_梯形A1ABA2-S_梯形A2BCA3=．
（3分）

（2）①，（4分）
②．（5分）

（3）由規律知：或寫成（），（6分）
由（1）（2）知：S₁+S₂+S₃+…+S₁₀===．（8分）

（4）存在，
由上知：S_n-10+S_n-9+S_n-8+…S_n===，（9分）
∵
∴，
∵n＞10，
∴n²-9n-10＞0，
∴n²-9n-10≤242，（10分）
解得-12≤n≤21，
又∵n＞10，
∴10＜n≤21，（11分）
∴存在n的最大值，其值為n=21．（12分）
點評：此題是一道規律題，考查拋物線基本性質，巧妙用幾何關系，求三角形面積，歸納出規律然后求和，最后一問探究正整數n是否存在最大值，轉化為求函數最值問題．