Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線G：y=ax2-4ax+3a-2（a≠0），其頂點為C，直線l：y=ax-2a+1（a≠0）與x軸、y軸分別交于A，B兩點．

（1）當拋物線G的頂點C在x軸上時，求a的值；

（2）當a＞0時，若△ABC的面積為2，求a的值；

（3）若點Q（m，n）在拋物線G上，把拋物線G繞著點P（t，-2）旋轉180°，在1≤m≤3時，總有n隨著m的增大而增大，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）-;（2）或1；（3）當a＞0時，t的取值范圍是t≥2.5；當a＜0時，t的取值范圍是t≤1.5．

【解析】

（1）首先利用配方法將拋物線的解析式變形為y=a（x-2）2-a-2，從而可得到拋物線的頂點坐標，然后依據頂點縱坐標為0可求得a的值；

（2）先求得A、B兩點的坐標（用含a的式子表示），設直線l與拋物線G的對稱軸x=2交于點D，則CD=a+3，①當0＜a≤時，S△ABC=S△ADC-S△BCD；當a＞時S△ABC=S△BCD-S△ACD，然后列出關于a的方程求解即可；

（3）先求得拋物線G′的頂點坐標（用含t的式子表示），然后分為a＞0和a＜0兩種情況時，最后，依據G′的增減性可得到關于t的不等式，從而可求得t的范圍．

（1）y=ax2-4ax+3a-2=a（x-2）2-a-2．

∴頂點C的坐標為（2，-a-2）．

∵頂點C在x軸上

∴-a-2=0，解得：a=-2．

（2）y=ax-2a+1與x、y軸分別交于A、B兩點

∴A（，0），B（0，-2a+1），

設直線l與拋物線G的對稱軸x=2交于點D，

直線x=2與x軸交于點H，則D（2，1），H（2，0），DC=1-（-a-2）=a+3．

①當0＜a≤時，如圖1所示：

S△ABC=S△ADC-S△BCD．

∴=2，解得：a=（負值已舍去）

②當a＞時，如圖2所示：

∵S△ABC=S△BCD-S△ACD=CDOH-CDAH=CDAO，

∴=2，

解得：a3=1，a4=-（舍去負值）

綜上所述：a的值為或1．

（3）解：y=ax2-4ax+3a-2=a（x-2）2-a-2．

∴拋物線的頂點坐標為（2，-a-2）．

∵點P的坐標為（t，-2）

∴點P在直線y=-2上

依題意得：把拋物線G繞著點P（t，-2）旋轉180°后，拋物線G的頂點在新拋物線G′上，且在1≤x≤3內，y隨x的增大而增大，拋物線G與新拋物線G′的頂點關于P（t，-2）成中心對稱，

∴G′的頂點坐標為（2t-2，a-2）．

①若a＞0，時，新拋物線G′的開口向下，

∴當2t-2≥3時，y隨x的增大而增大，

∴t≥2.5．

②若a＜0時，新拋物線G′開口向上，

∴當2t-2≤1時，y隨x的增大而增大，

∴t≤1.5．

綜上所述，當a＞0時，t的取值范圍是t≥2.5；當a＜0時，t的取值范圍是t≤1.5．