Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（是常數，且）與軸交于、兩點（點在點的左邊），與軸交于點．連結，將線段繞點順時針旋轉，得到線段，連結．當最短時，的值為_________ ．

Answer 1

【答案】

【解析】

過點D作DE⊥x軸于點E，先由函數關系式求出點A、B的坐標進而求得OA、OB的長，再由旋轉可得AC＝AD，∠CAD＝90°，由此可證得△ACO≌△DAE，進而可表示出DE和BE的長，最后利用勾股定理表示出BD2，進而即可求得當最短時的的值．

解：如圖，過點D作DE⊥x軸于點E，則∠AED＝90°，

令y＝0，則

解得：，

∴OA＝1，OB＝3，

∴AB＝OB－OA＝2，

令x＝0，則y＝3a，

∴OC＝3a，

∵旋轉，

∴AC＝AD，∠CAD＝90°，

∴∠CAO＋∠DAE＝90°，

∵∠COA＝90°，

∴∠CAO＋∠ACO＝90°，

∴∠ACO＝∠DAE，

在△ACO與△DAE中，

∴△ACO≌△DAE（AAS），

∴DE＝OA＝1，AE＝OC＝3a，

∴BE＝AE－AB＝3a－2，

∴BD2＝BE2＋DE2＝(3a－2)2＋1≥1，

當3a－2＝0即a＝時，BD取得最小值．

故答案為：．