Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，將OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角時(shí)（0°＜α＜180°），得到OP，當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，α的值為_____．

Answer 1

【答案】40°或70°或100°．

【解析】

試題分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．先連結(jié)AP，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OP=OB，則可判斷點(diǎn)P、C在以AB為直徑的圓上，利用圓周角定理得∠BAP=∠BOP=α，∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，然后分類討論：當(dāng)AP=AC時(shí)，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°；當(dāng)PA=PC時(shí)，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，；當(dāng)CP=CA時(shí)，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，再分別解關(guān)于α的方程即可．連結(jié)AP，如圖，

∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OA=OB，∵OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角時(shí)（0°＜α＜180°），得到OP，∴OP=OB，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，∴∠BAP=∠BOP=α，∠APC=∠ABC=70°，∵∠ACB=90°，∴點(diǎn)P、C在以AB為直徑的圓上，∴∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，當(dāng)AP=AC時(shí)，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°，解得α=40°；當(dāng)PA=PC時(shí)，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，解得α=70°；當(dāng)CP=CA時(shí)，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，解得α=100°，綜上所述，α的值為40°或70°或100°．故答案為40°或70°或100°．