Question

四川汶川大地震發生后，我市某工廠A車間接到生產一批帳篷的訂單，要求必須在12天（含12天）內完成．已知每頂帳篷的成本價為800元，該車間平時每天能生產帳篷20頂．為了加快進度，車間采取工人分批日夜加班，機器滿負荷運轉的生產方式，生產效率得到了提高．這樣，第一天生產了22頂，以后每天生產的帳篷都比前一天多2頂．由于機器損耗等原因，當每天生產的帳篷達到30頂后，每增加1頂帳篷，當天生產的所有帳篷，平均每頂的成本就增加20元．設生產這批帳篷的時間為x天，每天生產的帳篷為y頂．
（1）直接寫出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）若這批帳篷的訂購價格為每頂1200元，該車間決定把獲得最高利潤的那一天的全部利潤捐獻給災區．設該車間每天的利潤為W元，試求出W與x之間的函數關系式，并求出該項車間捐獻給災區多少錢？

Answer 1

分析：本題是實際問題與一次函數、二次函數的綜合運用，同時穿插著分段函數，需要由易到難，逐步求解；基本等量關系是：利潤=（每頂帳篷訂購價-每頂帳篷成本價-增加的其他費用）×生產量．

解答：解：（1）y=2x+20（1≤x≤12）；
（2）當1≤x≤5時，W=（1200-800）×（2x+20）=800x+8000，
此時W隨著x的增大而增大，
∴當x=5時，W_最大值=12000；
當5＜x≤12時，
W=[1200-800-20×（2x+20-30）]×（2x+20）
=-80（x-2.5）²+12500，
此時函數圖象開口向下，在對稱右側，W隨著x的增大而減小，又天數x為整數，
∴當x=6時，W_最大值=11520元．
∵12000＞11520，
∴當x=5時，W最大，且W_最大值=12000元．
綜上所述：
W=

800x+8000(1≤x≤5) -80(x-2.5)2+12500(5＜x≤12)

．
∴該車間捐獻給災區12000元．

點評：如何分段，怎樣表達每個分段函數，并比較確定最大值，是解本題的關鍵．