Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，連接PA，PB，AB，已知∠PBA=∠C．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BC=2．

【解析】試題分析：（1）連接OB，由圓周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，證出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出結論；

（2）證明△ABC∽△PBO，得出對應邊成比例，即可求出BC的長．

試題解析：（1）證明：連接OB，如圖所示：

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

∴∠C+∠BAC=90°，

∵OA=OB，

∴∠BAC=∠OBA，

∵∠PBA=∠C，

∴∠PBA+∠OBA=90°，

即PB⊥OB，

∴PB是⊙O的切線；

（2）解：∵⊙O的半徑為2，

∴OB=2，AC=4，

∵OP∥BC，

∴∠C=∠BOP，

又∵∠ABC=∠PBO=90°，

∴△ABC∽△PBO，

∴，

即，

∴BC=2．