Question

【題目】已知：關于x的二次函數y=x2+bx+c經過點（﹣1，0）和（2，6）．

（1）求b和c的值．

（2）若點A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在這個二次函數的圖象上，問是否存在整數n，使？若存在，請求出n；若不存在，請說明理由．

（3）若點P是二次函數圖象在y軸左側部分上的一個動點，將直線y=﹣2x沿y軸向下平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點，若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，請求出所有符合條件點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）n=3或n=-5 （2） (,-) 或(,-)

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法即可解決問題．

（2）求出y1，y2，y3代入解方程即可解決問題，注意運算技巧．

（3）當D為直角頂點時，由圖象可知不存在點P，使得△PCD為直角三角形，當C為直角頂點，CD為直角邊時，作PE⊥OC于E．分兩種情形①CD=2PC，②PC=2CD，

設直線y=-2x向下平移m個單位，則直線CD解析式為y=-2x-m，求出點P坐標（用m表示），代入拋物線解析式即可解決問題．

試題解析：（1）把（-1，0）和（2，6）代入y=x2+bx+c中，

得，解得，

∴b=1，c=0．

（2）由題意y1=n2+n，y2=（n+1）2+（n+1），y3=（n+2）2+（n+2），

∵，

∴，

∴，

∴，

整理得n2+3n-10=0，

解得n=2或-5．

經過檢驗n=2和-5是分式方程的解．

（3）當D為直角頂點時，由圖象可知不存在點P，使得△PCD為直角三角形，當C為直角頂點，CD為直角邊時，作PE⊥OC于E．

設直線y=-2x向下平移m個單位，則直線CD解析式為y=-2x-m，

∴點D坐標（0，-m），點C坐標（-，0），

∴OD=m，OC=，

∴OD=20C，

∵△PCD與△OCD相似，

∴CD=2PC或PC=2CD，

①當CD=2PC時，

∵∠PCD=90°，

∴∠PCE+∠DCO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠PCE=∠CDO，

∵∠PEC=∠COD=90°，

∴△COD∽△PEC，

∴，

∴EC=，PE=，

∴點P坐標（-m，-），代入y=x2+x，

得-=m2-m，解得m=或（0舍棄）

∴點P坐標（-，-）．

②PC=2CD時，由，

∴EC=2m，PE=m，

∴點P坐標（-m，-m），代入y=x2+x，

得-m=m2-m，

解得m=和（0舍棄），

∴點P坐標（-，-）．