Question

【題目】已知拋物線（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（4，0）．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）如圖①，將拋物線沿x軸翻折得到拋物線，拋物線與y軸交于點C，點D是線段BC上的一個動點，過點D作DE∥y軸交拋物線于點E，求線段DE的長度的最大值；

（3）在（2）的條件下，當線段DE處于長度最大值位置時，作線段BC的垂直平分線交DE于點F，垂足為H，點P是拋物線上一動點，⊙P與直線BC相切，且S⊙P：S△DFH=2π，求滿足條件的所有點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9；（3）（，﹣），（，），（，），（，）．

【解析】

（1）將點A（﹣1，0）和點B（4，0）代入即可得到結論；

（2）由對稱性可知，得到拋物線y2的函數解析式為，求得直線BC的解析式為：y=﹣x+4，設D（m，﹣m+4），E（m，），其中0≤m≤4，得到DE=﹣m+4﹣（）=，即可得到結論；

（3）由題意得到△BOC是等腰直角三角形，求得線段BC的垂直平分線為y=x，由（2）知，直線DE的解析式為x=1，得到H（2，2），根據S⊙P：S△DFH=2π，得到r=，由于⊙P與直線BC相切，推出點P在與直線BC平行且距離為的直線上，于是列方程即可得到結論．

解：（1）將點A（﹣1，0）和點B（4，0）代入得：

解得，

∴拋物線y1的函數解析式為：；

（2）由對稱性可知，拋物線y2的函數解析式為：，

∴C（0，4），

設直線BC的解析式為：y=kx+q，

把B（4，0），C（0，4）代入得，k=﹣1，q=4，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+4，設D（m，﹣m+4），E（m，），其中0≤m≤4，

∴DE=﹣m+4﹣（）=，

∵0≤m≤4，

∴當m=1時，DEmax=9；

此時，D（1，3），E（1，﹣6）；

（3）由題意可知，△BOC是等腰直角三角形，

∴線段BC的垂直平分線為：y=x，由（2）知，直線DE的解析式為：x=1，

∴F（1，1），

∵H是BC的中點，

∴H（2，2），

∴DH=，FH=，

∴S△DFH=1，設⊙P的半徑為r，

∵S⊙P：S△DFH=2π，

∴r=，

∵⊙P與直線BC相切，

∴點P在與直線BC平行且距離為的直線上，

∴點P在直線y=﹣x+2或y=﹣x+6的直線上，

∵點P在拋物線上，

∴，

解得：x1=，x2=，

，

解得：x3=，x4=，

∴符合條件的點P坐標有4個，分別是（，﹣），（，），（，），（，）．