Question

【題目】如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D和E分別是AC、AB上的點，CE⊥BD，垂足為F

（1）

①求證：D為AC的中點；②計算的值．

（2）若，如圖2，則＝　 　（直接寫出結果，用k的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）.

【解析】

（1）①先證明△CDF∽△BDC，再利用相似的性質即可解答

②過點A作直線BD的垂線，交BD延長線于G，則AG∥CF，得到，再利用勾股定理求出CF,BD，即可解答

（2）根據題意可知△CDF∽△BDC，再利用相似的性質求出＝k﹣1，過點A作直線BD的垂線，交BD延長線于G，則AG∥CF，得到AG＝（k﹣1）CF，GD＝（k﹣1）FD，再根據勾股定理即可解答

（1）①證明：∵∠ACB＝90°，CE⊥BD，

∴∠BCD＝∠CFD＝90°．

∴∠BCF＝∠CDF（同角的余角相等）．

∴△CDF∽△BDC．

∴．

∵，AC＝BC，

∴．

∴D為AC的中點；

②如圖1，過點A作直線BD的垂線，交BD延長線于G，則AG∥CF，

∴△ADG∽△CDF．

∴．

∴AG＝CF，GD＝FD．

在直角△CFD中，CF＝2DF，CD2＝DF2+CF2，易得CF＝ CD．

在直角△BCD中，BC＝2CD，BD2＝CD2+BC2，易得BD＝ CD．

由tan∠EBF＝tan∠ABG知，．

∴．

（2）∵∠ACB＝90°，CE⊥BD，

∴∠BCD＝∠CFD＝90°．

∴∠BCF＝∠CDF（同角的余角相等）．

∴△CDF∽△BDC．

∴．

∵，AC＝BC，

∴．

∴＝k﹣1；

如圖2，過點A作直線BD的垂線，交BD延長線于G，則AG∥CF，

∴△ADG∽△CDF．

∴＝k﹣1．

∴AG＝（k﹣1）CF，GD＝（k﹣1）FD．

在直角△CFD中，CF＝kDF，CD2＝DF2+CF2，易得CF＝ ．

在直角△BCD中，BC＝kCD，BD2＝CD2+BC2，易得BD＝ CD．

由tan∠EBF＝tan∠ABG知，．即．

∴．

故答案是：．