Question

已知拋物線y=3x²+2x+n，
（1）若n=-1，求該拋物線與x軸的交點坐標；
（2）當-1＜x＜1時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，求n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把n=-1，y=0代入拋物線解析式，通過解一元二次方程可求得交點坐標．
（2）分3種情況．第1種：△=0，n=

1

3

；
第2種：把x=-1代入函數使y大于0，且把x=1代入函數，使y小于0，解這個不等式，可得n的取值范圍；
第3種：把x=-1代入函數使y小于0，且把x=1代入函數，使y大于0，解這個不等式組，可得n的取值范圍．
綜合這三個結果即可得n的范圍．在2，3種情況下必須保證△大于0．

解答：解：（1）當n=-1時，拋物線為y=3x²+2x-1，
方程3x²+2x-1=0的兩個根為：x=-1或x=

1

3

．
∴該拋物線與x軸交點的坐標是（-1，0）和（

1

3

，0）；（2分）
（2）∵拋物線與x軸有公共點，
∴對于方程3x²+2x+n=0，判別式△=4-12n≥0，
∴n≤

1

3

．（3分）
①當n=

1

3

時，由方程3x²+2x+

1

3

=0，解得x₁=x₂=-

1

3

．此時拋物線為y=3x²+2x+

1

3

與x軸只有一個公共點（-

1

3

，0）；（4分）
②當n＜

1

3

時，
x₁=-1時，y₁=3-2+n=1+n；
x₂=1時，y₂=3+2+n=5+n；
由已知-1＜x＜1時，該拋物線與x軸有且只有一個公共點，考慮其對稱軸為x=-

1

3

，
應有y₁≤0，且y₂＞0即1+n≤0，且5+n＞0．（5分）
解得：-5＜n≤-1．（6分）
綜合①，②得n的取值范圍是：n=

1

3

或-5＜n≤-1．（7分）

點評：考查二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交點的個數的判斷．