Question

【題目】在等邊△ABC中，D為射線BC上一點，CE是∠ACB外角的平分線，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．

（1）如圖1，若點D在線段BC上，證明：∠BAD=∠EDC；

（2）如圖1，若點D在線段BC上，證明：①AD=DE；②BC=DC+2CF（提示：構造全等三角形）；

（3）如圖2，若點D在線段BC的延長線上，直接寫出BC、DC、CF三條線段之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析；（3）BC=2CF-DC；理由見解析.

【解析】

(1)由等邊三角形的性質得出∠B=60°，再由三角形的外角性質結合已知條件，即可得出結論；

(2)過D作DG∥AC交AB延長線于G，證得△AGD≌△DCE，得出：①AD=DE；進一步利用GD=CE，BD=CE得出②BC=DC+2CF；

(3)過D作DG∥AC交AB延長線于G，由平行線和等邊三角形的性質得出∠BGD=∠BDG=∠B=60°，證出△GBD是等邊三角形，證出AG=CD，再證出∠GAD=∠CDE，證明△AGD≌△DCE，得出GD=CE，進而得出結論．

(1)∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠ADE=60°，

∴∠BAD=∠EDC；

(2)①過D作DG∥AC交AB于G，如圖1所示：

∵△ABC是等邊三角形，AB=BC，

∴∠B=∠ACB=60°，

∴∠BDG=∠ACB=60°，

∴∠BGD=60°，

∴△BDG是等邊三角形，

∴BG=BD，∠AGD=∠B+∠BDG=60°+60°=120°，

∴AG=DC，

∵CE是∠ACB外角的平分線，

∴∠DCE=120°=∠AGD，

由(1)知∠GAD=∠EDC，

在△AGD和△DCE中，，

∴△AGD≌△DCE(ASA)，

∴AD=DE；

②∵△AGD≌△DCE，

∴GD=CE，

∴BD=CE，

∵EF⊥BC，CE是∠ACB外角的平分線，

∴∠ECF=60°，∠CEF=30°，

∴CE=2CF，

∴BC=CE+DC=DC+2CF；

(3)BC=2CF-DC；理由如下：

過D作DG∥AC交AB延長線于G，如圖2所示：

∵DG∥AC，△ABC是等邊三角形，

∴∠BGD=∠BDG=∠B=60°，

∴△GBD是等邊三角形，

∴GB-AB=DB-BC，即AG=DC，

∵∠ACB=60，CE是∠ACB的外角平分線，

∴∠DCE=∠ACE=×(180°-∠ACB)=60°，

∴∠AGD=∠DCE=60°，

∵∠GAD=∠B+∠ADC=60°+∠ADC，

∠CDE=∠ADC+∠ADE=∠ADC+60°，

∴∠GAD=∠CDE，

在△AGD和△DCE中，，

∴△AGD≌△DCE(ASA)，

∴GD=CE，

∴BD=CE，

∵CE=2CF，

∴BC=BD-DC=CE-DC=2CF-DC．