Question

【題目】如圖，和是兩個全等的三角形，，.現將和按如圖所示的方式疊放在一起，保持不動，運動，且滿足：點E在邊BC上運動(不與點B，C重合)，且邊DE始終經過點A，EF與AC交于點M .

（1）求證：∠BAE=∠MEC；

（2）當E在BC中點時，請求出ME：MF的值；

（3）在的運動過程中，能否構成等腰三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的BE的長；若不能，則請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）已知△ABC≌△DEF，根據全等三角形的性質可得∠ABC=∠DEF，又因∠AEC=∠B+∠BAE，∠AEC=∠AEM+∠MEC，即可得∠B+∠BAE=∠AEM+∠MEC，所以∠BAE=∠MEC；（2）當E為BC中點時, AB=AC，根據等腰三角形三線合一的性質可得AE⊥BC，∠EAM=60°，再由∠DEM=30°即可證得AC⊥EF； 在Rt△ABE中，∠B=30°，，求得BE=，即可求得BC=3；在Rt△CEM中，∠C=30°，EC=E，求得EM=，根據全等三角形的性質可得BC=EF=3，所以FM= EF－EM=，即可得EM：FM=1：3 ；（3）分AM=AE、EA=EM、三種情況求解即可.

（1）證明：∵△ABC≌△DEF

∴∠ABC=∠DEF

∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠AEC=∠AEM+∠MEC；

∴∠B+∠BAE=∠AEM+∠MEC，

即∠BAE=∠MEC ；

（2）當E為BC中點時,

∵AB=AC，

∴AE⊥BC，BE=EC= ，∠EAM=60°，

又∵∠DEM=30°，

∴AC⊥EF；

∵，，

∴∠B=∠C=30°，

在Rt△ABE中，∠B=30°，，

∴BE=，

∴BC=3；

在Rt△CEM中，∠C=30°，EC=，

∴EM=，

∵△ABC≌△DEF，

∴BC=EF=3，

∴FM= EF－EM=，

∴EM：FM=1：3；

（3）當或2時，是等腰三角形.

①當時，如圖，

，

此時點E與點B重合，與題意矛盾(舍去 ) ；

②當時，如圖，

由（1）知，

，

，，

，

，

,

③當時，如圖，

則，

，

取BE中點I，連結AI，

則，，

是等邊三角形，

設，在中，

由勾股定理，得，

即，解得

.

綜上所述，當或2時，是等腰三角形.