Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD為直徑作圓O，過點D作DE∥AB交圓O于點E

（1）證明點C在圓O上；
（2）求tan∠CDE的值；
（3）求圓心O到弦ED的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

連結CO．

∵AB=6，BC=8，∠B=90°，

∴AC=10．

又∵CD=24，AD=26，102+242=262，

∴△ACD是直角三角形，∠C=90°．

∵AD為⊙O的直徑，

∴AO=OD，OC為Rt△ACD斜邊上的中線，

∴OC= AD=r，

∴點C在圓O上；

（2）解：如圖2，

延長BC、DE交于點F，∠BFD=90°．

∵∠BFD=90°，

∴∠CDE+∠FCD=90°，

又∵∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠FCD=90°，

∴∠CDE=∠ACB．

在Rt△ABC中，tan∠ACB= = ，

∴tan∠CDE=tan∠ACB= ；

（3）解：如圖3，

連結AE，作OG⊥ED于點G，則OG∥AE，且OG= AE．

易證△ABC∽△CFD，

∴ = ，即 = ，

∴CF= ，

∴BF=BC+CF=8+ = ．

∵∠B=∠F=∠AED=90°，

∴四邊形ABFE是矩形，

∴AE=BF= ，

∴OG= AE= ，

即圓心O到弦ED的距離為 ．

【解析】本題是圓的綜合題，考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性質，余角的性質，銳角三角函數定義，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度適中．準確作出輔助線，利用數形結合是解題的關鍵．（1）如圖1，連結CO．先由勾股定理求出AC=10，再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，∠C=90°，那么OC為Rt△ACD斜邊上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC= AD=r，即點C在圓O上；（2）如圖2，延長BC、DE交于點F，∠BFD=90°．根據同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB．在Rt△ABC中，利用正切函數定義求出tan∠ACB= = ，則tan∠CDE=tan∠ACB= ；（3）如圖3，連結AE，作OG⊥ED于點G，則OG∥AE，且OG= AE．易證△ABC∽△CFD，根據相似三角形對應邊成比例求出CF= ，那么BF=BC+CF= ．再證明四邊形ABFE是矩形，得出AE=BF= ，所以OG= AE= ．
【考點精析】通過靈活運用實數的運算，掌握先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，先算括號里面的，若沒有括號，在同一級運算中，要從左到右進行運算即可以解答此題．