Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O內接三角形，AB是⊙O的直徑，C是弧AF的中點，弦BC，AF相交于點E，在BC延長線上取點D，使得AD=AE．

（1）求證：AD是⊙O切線；

（2）若∠OEB=45°，求sin∠ABD的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）本題考查切線的證明，總體思路是“證垂直以及半徑”，根據題干AB為直徑，此處考查圓周角定理的運用；根據C是弧的中點，此處考查同弧所對的圓周角相等，綜合以上通過直角互余以及角的互換解答本題．

（2）本題考查圓周角定理以及正弦三角函數綜合運用，需要通過弧等推角等，邊等推角等，結合圖形特點選取合適的三角形進行角的互換，進一步推出邊的關系解答此題．

（1）∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90°.

∴∠CBA+∠CAB=90°.

又∵AD=AE，

∴∠CAD=∠CAE.

∵C是 的中點，

∴

∴∠CAE=∠CBA.

∴∠CAD+∠CAB=90°.

∴OA⊥DA.

又∵OA是⊙O的半徑，

∴DA是⊙O的切線.

（2）∵C是 的中點，

∴

∴∠CBF=∠CBA.

設∠CBF=∠CBA=x，∠FAB=y.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB=90°.

∴y+2x=90°，y=90°－2x.

∵∠FEB=y+x，

∴∠AEO=180°－∠OEB－∠FEB

=180°－45°－y－x

=135°－x－y

=135°－x－(90°－2x)

=45°+x，

又∵∠AOE=∠OBE+∠OEB=45°+x，

∴∠AEO=∠AOE.

∴AE=AO.

∵∠ACB=∠ACB，∠CAE=∠CBA，

∴△CEA∽△CAB.

∴ .

∴,

∴ .