Question

【題目】如圖，拋物線y＝與x軸分別交于A、B兩點（點A在點B的左側，）與y軸交于點C，作直線AC．

（1）點B的坐標為　 　，直線AC的關系式為　 　．

（2）設在直線AC下方的拋物線上有一動點P，過點P作PD⊥x軸于D，交直線AC于點E，當CE平分∠OEP時求點P的坐標．

（3）點M在x軸上，點N在拋物線上，試問以點A、C、M、N為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若存在，直接寫出所有點M的坐標；若不存在，請簡述你的理由．

Answer 1

【答案】（1）（2，0），y＝x﹣4；（2）P（﹣，﹣）；（3）M的坐標為：（5+，0）或（5﹣）或（﹣14，0）或（﹣2，0）．

【解析】

（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可求出點A、B的坐標，令x=0即可求出點C的坐標；根據待定系數法即可求出直線AC的解析式；

（2）先證明OE=OC=4，再設點E的坐標為（m，m﹣4），然后在Rt△ODE中根據勾股定理即可得出關于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值，進一步即可求出結果；

（3）①當AC是平行四邊形的邊時，根據A到C的平移規律可得N（M）到M（N）的平移規律，解方程即可求得結果；②當AC是平行四邊形的對角線時，利用中點坐標公式求解即可.

解：（1）y＝，令y＝0，則，解得x＝2或﹣8，令x＝0，則y＝﹣4，

所以點A、B、C的坐標分別為：（﹣8，0）、（2，0）、（0，﹣4），

將點A、C的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b得：，解得：，

故直線AC的表達式為：y＝x﹣4；

故答案為：（2，0），y＝x﹣4；

（2）如圖，∵CE平分∠OEP，∴∠OEC＝∠CEP，

∵PD∥y軸，∴∠CEP＝∠ECO＝∠OEC，∴OE=OC=4，

設點E的坐標為（m，m﹣4），

則在Rt△ODE中，根據勾股定理，得，

解得：m＝﹣或0（不和題意，舍去），

由于P、E的橫坐標相等，所以點P（﹣，﹣ ）；

（3）設點M（s，0），N（m，n），則n＝m2+m﹣4，

①當AC是平行四邊形的邊時，

則點A向右平移8個單位，再向下平移4個單位得到C，

同理N（M）向右平移8個單位，再向下平移4個單位得到M（N），

即m+8＝s，n﹣4＝0或m﹣8＝s，n+4＝0，而n＝m2+m﹣4，

當m+8＝s，n﹣4＝0時，4＝m2+m﹣4，解得：，所以s＝5±；

當m﹣8＝s，n+4＝0時，－4＝m2+m﹣4，解得：m=﹣6或0（舍去），所以s＝﹣14；

②當AC是平行四邊形的對角線時，

利用中點坐標公式得：﹣8＝m+s，﹣4＝n，而n＝m2+m﹣4，解得：s＝﹣2；

綜上，s＝5±或﹣14或﹣2；

故點M的坐標為：（5+，0）或（5﹣）或（﹣14，0）或（﹣2，0）．