Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（l，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上的動點，且滿足S△PAO＝2S△PCO，求出P點的坐標；

（3）連接BC，點E是x軸一動點，點F是拋物線上一動點，若以B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點P（，﹣2）或（﹣，2）或（﹣2+，﹣4+2）或（﹣2﹣，﹣4﹣2）；（3）點F坐標（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）

【解析】

（1）由待定系數法可求解析式；

（2）求出點C坐標，可得OA＝OC＝3，由面積關系列出方程可求解；

（3）分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質可求解．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（l，0）兩點，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與y軸交于點C，

∴點C（0，3）

∴OA＝OC＝3，

設點P（x，﹣x2﹣2x+3）

∵S△PAO＝2S△PCO，

∴×3×|﹣x2﹣2x+3|＝2××3×|x|，

∴x＝±或x＝﹣2±，

∴點P（，﹣2）或（﹣，2）或（﹣2+，﹣4+2）或（﹣2﹣，﹣4﹣2）；

（3）若BC為邊，且四邊形BCFE是平行四邊形，

∴CF∥BE，

∴點F與點C縱坐標相等，

∴3＝﹣x2﹣2x+3，

∴x1＝﹣2，x2＝0，

∴點F（﹣2，3）

若BC為邊，且四邊形BCEF是平行四邊形，

∴BE與CF互相平分，

∵BE中點縱坐標為0，且點C縱坐標為3，

∴點F的縱坐標為﹣3，

∴﹣3＝﹣x2﹣2x+3

∴x＝﹣1±，

∴點F（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；

若BC為對角線，則四邊形BECF是平行四邊形，

∴BC與EF互相平分，

∵BC中點縱坐標為，且點E的縱坐標為0，

∴點F的縱坐標為3，

∴點F（﹣2，3），

綜上所述，點F坐標（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．