Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝mx2－2mx＋m－1(m＞0)與x軸的交點為A，B，頂點為C，將拋物線在A，C，B之間的部分記為圖象E(A，B兩點除外)．

(1)求拋物線的頂點坐標．

(2)AB＝6時，經過點C的直線y＝kx＋b(k≠0)與圖象E有兩個交點，結合函數的圖象，求k的取值范圍．

(3)若橫、縱坐標都是整數的點叫整點．

①當m＝1時，求線段AB上整點的個數；

②若拋物線在點A，C，B之間的圖象E與線段AB所圍成的區域內(包括邊界)恰有6個整點，結合函數的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C(1，－1). （2）＜k＜0，或0＜k＜.（3）3個或5個；＜m≤ .

【解析】試題分析：（1）利用配方法將拋物線解析式變形為頂點式即可得到頂點坐標；（2）當AB＝6時，拋物線與x軸的兩個交點分別是(－2，0)，(4，0)，又因為頂點為(－1，1)，當直線經過C與A，C與B時，分別解得k＝± ，即可得k的取值范圍；（3）①當時m＝1，拋物線表達式為y＝x2－2x，令y=0，解方程即可得到點A、點B的坐標，再數出線段上的整點數即可；②拋物線頂點為(1，－1)，則指定區域的整點的縱坐標只能為－1或者0，所以即要求AB線段上(含AB兩點)必須有5個整點；令拋物線解析式為0，,解方程得到用m表示的點、橫坐標，根據題意得不等式解之即可.

試題解析：

⑴原拋物線解析式為y＝mx2－2mx＋m－1(m＞0)，提取公因式并配方得 ，所以該拋物線的頂點坐標為 (1，－1)；

⑵AB＝6時，拋物線與x軸的兩個交點分別是(－2，0)，(4，0)，又因為頂點為(－1，1)，當直線經過C與A，C與B時，分別解得k＝，所以k的取值范圍為＜k＜0，或0＜k＜.

⑶①當m＝1時，拋物線表達式為y＝x2－2x，因此A、B的坐標分別為(0，0)和(2，0)，則線段AB上的整點有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3個.

②拋物線頂點為(1，－1)，則指定區域的整點的縱坐標只能為－1或者0，所以即要求AB線段上(含AB兩點)必須有5個整點；

令y＝mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B兩點坐標分別為(，0)，(，0)，即5個整點是以(1，0)為中心向兩側分散，

進而得到2≤＜3，所以＜m≤ .