Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經

過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封

閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，），點M是拋物線C2：（＜0）的頂點．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當△BDM為直角三角形時，求的值．

Answer 1

【答案】解：（1）令y=0，則 ，

∵m＜0，∴，解得：， 。

∴A（，0）、B（3，0）。

（2）存在。理由如下：

∵設拋物線C1的表達式為（），

把C（0，）代入可得，。

∴Ｃ1的表達式為：，即。

設P（p，），

∴ S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC =。

∵<0，∴當時,S△PBC最大值為。

（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），

∴BD2=，BM2=，DM2=。

∵∠MBD<90°, ∴討論∠BMD=90°和∠BDM=90°兩種情況：

當∠BMD=90°時，BM2+ DM2= BD2 ，即＋=，

解得：, (舍去)。

當∠BDM=90°時，BD2+ DM2= BM2 ，即＋=，

解得：， (舍去) 。

綜上所述， 或時，△BDM為直角三角形。

【解析】（1）在中令y=0，即可得到A、B兩點的坐標。

（2）先用待定系數法得到拋物線C1的解析式，由S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC得到△PBC面積的表達式，根據二次函數最值原理求出最大值。

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分兩種情況：①∠BMD=90°時；②∠BDM=90°時，討論即可求得m的值。