Question

【題目】（1）問題發現：如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B、C重合）將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數量關系是　 　，位置關系是　 　；

（2）探究證明：如圖2，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉，使點D落在BC的延長線上時，連接EC，寫出此時線段AD，BD，CD之間的等量關系，并證明；

（3）拓展延仲：如圖3，在四邊形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°．若BF＝13，CF＝5，請直接寫出AF的長．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）2AD2＝BD2+CD2，理由詳見解析；（3）.

【解析】

（1）證明△BAD≌△CAE，根據全等三角形的性質解答；

（2）證明△BAD≌△CAE，得到BD=CE，根據勾股定理計算即可；

（3）如圖3，作輔助線，構建全等三角形，證明△BAF≌△CAG，得到CG＝BF＝13，證明是直角三角形，根據勾股定理計算即可.

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

∵ ，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴，

故答案為：BD＝CE，BD⊥CE；

（2）2AD2＝BD2+CD2，理由是：如圖2，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∵，

∵△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，

∴DE2＝CE2+CD2，

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，

∴，

∴2AD2＝BD2+CD2；

（3）如圖3，將AF繞點A逆時針旋轉90°至AG，連接CG、FG，

則△FAG是等腰直角三角形，

∴∠AFG＝45°，

∵∠AFC＝45°，

∴∠GFC＝90°，

同理得：△BAF≌△CAG，

∴CG＝BF＝13，

Rt△CGF中，∵CF＝5，

∴FG＝12，

∵△FAG是等腰直角三角形，

∴．