Question

【題目】已知直線AB經過點O，∠COD=90°，OE是∠BOC的平分線．

（1）如圖1，若∠AOC=50°，求∠DOE；

（2）如圖1，若∠AOC=α，求∠DOE；（用含α的式子表示）

（3）將圖1中的∠COD繞頂點O順時針旋轉到圖2的位置，其它條件不變，（2）中的結論是否還成立？試說明理由；

（4）將圖1中的∠COD繞頂點O逆時針旋轉到圖3的位置，其它條件不變，求∠DOE.（用含α的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）25°；（2）；（3）（2）中的結論還成立，理由見解析；（4）180°﹣．

【解析】

（1）如圖1，根據平角的定義和∠COD=90°，得∠AOC+∠BOD=90°，從而求得：∠BOD=40°，由角平分線定義得：∠BOE=∠BOC=65°，利用角的差可得結論；

（2）同理可得：∠DOE=α；

（3）如圖2，根據平角的定義得：∠BOC=180°-α，由角平分線定義得：∠EOC=∠BOC=90°-α，根據角的差可得（2）中的結論還成立；

（4）同理可得：∠DOE=∠COD+∠COE=180°-α．

解：（1）如圖1，∵∠COD=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∵∠AOC=50°，

∴∠BOD=40°，

∴∠BOC=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°，

∵OE平分∠BOC，

∴∠BOE=∠BOC=65°，

∴∠DOE=65°﹣40°=25°；

（2）如圖1，由（1）知：∠AOC+∠BOD=90°，

∵∠AOC=α，

∴∠BOD=90°﹣α，

∴∠BOC=∠COD+∠BOD=90°+90°﹣α=180°﹣α，

∵OE平分∠BOC，

∴∠BOE=∠BOC =90﹣α，

∴∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=90°﹣α﹣（90°﹣α）=α，

（3），（2）中的結論還成立，理由是：

如圖2，∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=α，

∴∠BOC=180°﹣α，

∵OE平分∠BOC，

∴∠EOC=∠BOC=90°﹣α，

∵∠COD=90°，

∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣（90°﹣α）=α；

（4）如圖3，∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=α，

∴∠BOC=180°﹣α，

∵OE平分∠BOC，

∴∠EOC=∠BOC=90°﹣α，

∵∠COD=90°，

∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°+（90°﹣α）=180°﹣α．