Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，點B位于(4，0)、(5，0)之間，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝2，直線y＝﹣x+c與拋物線y＝ax2+bx+c交于C，D兩點，D點在x軸上方且橫坐標小于5，則下列結論：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m為任意實數）；④a＜﹣1，其中正確的是（ ）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由對稱軸為直線x=2可知b=-4a，根據拋物線與y軸交點可知c＞0，可判定①正確；由對稱軸及點B橫坐標在4和5之間，可得A點的橫坐標在-1和0之間，可得x=-1時，y＜0，可判定②正確；根據x=2時拋物線取最大值可得m（am+b）≤4a+2b，可判定③錯誤；聯立拋物線和一次函數解析式，可用a、b表示出D點橫坐標，根據b=-4a，D點在x軸上方且橫坐標小于5列不等式可求出a的取值范圍，可判定④正確；綜上即可得答案．

∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝2，

∴=2，即b=-4a，

∵拋物線與y軸交于正半軸，

∴c＞0，

∴4a+b+c=4a-4a+c=c＞0，故①正確，

∵點B位于(4，0)、(5，0)之間，對稱軸為直線x=2，

∴點A位于（0，0）、（-1，0）之間，

∴x=-1時，y=a-b+c＜0，故②正確，

∵對稱軸為直線x=2，

∴x=2時，y取最大值，

∴am2+bm+c≤4a+2b+c，

∴m(am+b)≤4a+2b，故③錯誤，

聯立拋物線和一次函數解析式得，

∴ax2+bx=-x，

解得：x1=0，x2=，

∵C（0，c），

∴D點橫坐標為，

∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∵D點在x軸上方且橫坐標小于5，b=-4a，

∴＜5，即，

解得：a＜-1，故④正確，

綜上所述：正確的結論有①②④，

故選：C．