Question

【題目】如圖，在矩形中，，，，兩點分別從，同時出發，點沿折線運動，在上的速度是2/，在BC上的速度是/；點在上以2/的速度向終點運動，過點作，垂足為點．連結，以，為鄰邊作平行四邊形．設運動的時間為（s），平行四邊形與矩形重疊部分的圖形面積為

（1）當⊥時，求的值；

（2）求關于的函數解析式，并寫出的取值范圍；

（3）直線將矩形的面積分成1∶3兩部分時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）s；（2）y= ；（3）x=或.

【解析】

（1）當PQ⊥AB時，BQ=2PB，由此構建方程即可解決問題；
（2）分三種情形：當0＜x≤時，P在AB邊上，M在矩形ABCD的內部或AD邊上；當＜x≤1時，P在AB邊上，M在矩形ABCD的外部；當1＜x＜2時，P在BC邊上，M在矩形ABCD的外部。分別求解即可解決問題；
（3）分兩種情形：當直線AM經過BC中點E時；當直線AM經過CD的中點E時。分別求解即可解決問題；

解：（1）當PQ⊥AB時，BQ=2PB，

∴2x=2（2-2x），

∴x=s．

故答案為s．

（2）①如圖1中，當0＜x≤時，P在AB邊上，M在矩形ABCD的內部或AD邊上，此時重疊部分是四邊形PQMN．

y=2x×x=2x2．

②如圖2中，當＜x≤1時，P在AB邊上，M在矩形ABCD的外部，此時重疊部分是四邊形PQEN．

y=（2-x+2x）×x=x2+x

③如圖3中，當1＜x＜2時，P在BC邊上，M在矩形ABCD的外部，此時重疊部分是四邊形PNEQ．

y=（2-x+2）×[x-2（x-1）]=x2-3x+4；

綜上所述，．

（3）①如圖4中，當直線AM經過BC中點E時，滿足條件．

則有：tan∠EAB=tan∠QPB，

，

解得 ．

②如圖5中，當直線AM經過CD的中點E時，滿足條件．

此時tan∠DEA=tan∠QPB，

，

解得 。

綜上所述，當 或時，直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分．