Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延長線于點C，E為 的中點，連接DE，EB．
（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；
（2）已知圖中陰影部分面積為6π，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD是⊙O的切線，∴∠CDO=90°，∵∠BOD=60°，

∴∠C=30°，∠AOD=120°，

∵E為 的中點，

∴∠AOE=∠DOE=60°，

∴∠BOE=120°，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE=30°，

∴∠C=∠OBE=∠E，

∴DE∥BC，BE∥CD，

∴四邊形BCDE是平行四邊形

（2）解：連接OE，由（1）知， ，

∴∠BOE=120°，

∵陰影部分面積為6π，

∴ =6π，

∴r=6．

【解析】（1）由∠BOD=60°E為 的中點，得到 ，于是得到DE∥BC，根據CD是⊙O的切線，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可證得四邊形BCDE是平行四邊形；（2）連接OE，由（1）知， ，得到∠BOE=120°，根據扇形的面積公式列方程即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的判定的相關知識，掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．