Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD.

(1)求證：BD平分∠ABC；

(2)當∠ODB＝30°時，求證：BC＝OD.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）由OD⊥AC OD為半徑，根據垂徑定理，即可得=，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可證得BD平分∠ABC；

（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度數，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度數，然后由AB是⊙O的直徑，根據圓周角定理，可得∠ACB=90°，繼而可證得BC=OD．

證明：（1）∵OD⊥AC OD為半徑，

∴=，

∴∠CBD=∠ABD，

∴BD平分∠ABC；

（2）∵OB=OD，

∴∠OBD=∠0DB=30°，

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，

又∵OD⊥AC于E，

∴∠OEA=90°，

∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，BC=AB，

∵OD=AB，

∴BC=OD．

“點睛”此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及直角三角形的性質等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．