Question

【題目】如圖，已知拋物線圖象經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若C（m，m﹣1）是拋物線上位于第一象限內的點，D是線段AB上的一個動點（不與端點A、B重合），過點D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．

①求證：四邊形DECF是矩形；

②試探究：在點D運動過程中，DE、DF、CF的長度之和是否發生變化？若不變，求出它的值；若變化，試說明變化情況．

Answer 1

【答案】(1) ;（2）①證明見解析; ②不變, .

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法即可求得；

（2）把C（m，m-1）代入y=-x2+x+2求得點C的坐標，從而求得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，然后根據=2，∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB，根據相似三角形的對應角相等求得∠ACH=∠CBH，因為∠CBH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°從而求得∠ACB=90°，先根據有兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形求得四邊形DECF是平行四邊形，進而求得□DECF是矩形；

（3）根據矩形的對角線相等，求得EF=CD，因為當CD⊥AB時，CD的值最小，此時CD的值為2，所以EF的最小值是2；

試題解析：

(1)∵拋物線y=﹣+bx+c圖象經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，

根據題意，得

解得

∴拋物線的解析式為： ；

（2）①證明：把C（m，m﹣1）代入得

，

解得：m=3或m=﹣2，

∵C（m，m﹣1）位于第一象限，

∴

∴m＞1，

∴m=﹣2不合舍去，只取m=3，

∴點C坐標為（3，2）.

如圖，過C點作CH⊥AB，垂足為H，則∠AHC=∠BHC=90°，

由A（﹣1，0）、B（3，0）、C（3，2）得 AH=4，CH=2，BH=1，AB=5

∵ ∠AHC=∠BHC=90°

∴△AHC∽△CHB，

∴∠ACH=∠CBH，

∵∠CBH+∠BCH=90°

∴∠ACH+∠BCH=90°

∴∠ACB=90°，

∵DE∥BC，DF∥AC，

即四邊形DECF是平行四邊形，

∴四邊形DECF是矩形；

（3）∵DE∥BC

∴ΔAED∽ΔACB

∴ （1）

同理： （2）

設, 則

由(1)得

∴

由(2)得

∴

∴DE、DF、CF的長度之和不變.