Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AC=2AB，將矩形ABCD繞點A旋轉得到矩形AB′C′D′，使點B的對應點B'落在AC上，B'C'交AD于點E，在B'C′上取點F，使B'F=AB．

（1）求證：AE=C′E．

（2）求∠FBB'的度數．

（3）已知AB=2，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）∠FBB′=15°；（3）+

【解析】

（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由旋轉的性質得到∠B′AC=∠BAC=60°，利用等角對等邊即可得證；

（2）由（1）得到△ABB′為等邊三角形，進而得到∠BB′F=150°，BB′=B′F，再由等邊對等角，即可求出所求角度數；

（3）連接AF，過A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B為等邊三角形，分別利用三角函數定義求出MF與AM，根據AM=BM，即BM+MF=BF即可求出．

（1）∵在Rt△ABC中，AC=2AB，∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，由旋轉可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，∴AE=C′E；

（2）由（1）得到△ABB′為等邊三角形，∴∠AB′B=60°，AB′=AB，∴∠BB′F=150°，BB′=B′F，∴∠FBB′=15°；

（3）連接AF，過A作AM⊥BF，由（2）可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B為等邊三角形，∴∠AFB′=45°，∠AFM=30°，∠ABB′=60°．

∵∠FBB′=15°，∴∠ABF=45°．在Rt△AMF中，AM=BM=ABcos∠ABM=2×=．在Rt△AMF中，MF===，則BF=+．