Question

【題目】已知：F、G分別為直線AB、CD上的點，E為平面內任意一點，連接EF、EG，∠AFE＋∠CGE＝∠FEG.

（1）如圖（1），求證：AB∥CD，

（2）如圖（2），過點E作EM⊥EF、EH⊥EG交直線AB上的點M、H，點N在EH上，過N作PQ∥EF.求證∶∠HNQ＝∠MEG.

（3）如圖（3）在（2）的條件下，若∠ENQ＝∠EMF，∠EGD＝110°，求∠CQP的度數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）125°.

【解析】

（1）過E作ET∥AB,證得∠GET=∠EGC,從而ET∥CD,因此可得結論;

（2）根據EM⊥EF、EH⊥EG,得∠MEG＋∠FEN＝180°;根據PQ∥EF得∠PNE＋∠FEN＝180°,∠HNQ＝∠PNE,故∠HNQ＝∠MEG;

（3）設∠FME＝α 則α＋α＋20°＝90°,求得α＝35°, 因此∠MPN＝∠MFE＝55°,故∠PQC＝125°.

（1）過E作ET∥AB.

則∠AFE=∠FET,

∵∠FET+∠GET=∠FEG,

∠AFE＋∠CGE＝∠FEG,

∴∠GET=∠EGC,

∴ET∥CD,

∴AB∥CD;

（2）如圖,

∵EM⊥EF、EH⊥EG,

∴∠MEG＋∠FEN＝180°,

∵PQ∥EF

∴∠PNE＋∠FEN＝180°,∠HNQ＝∠PNE

∴∠HNQ＝∠MEG

（3）過E作ET∥AB,

設∠FME＝α ,

∵α＋α＋20°＝90°,

∴α＝35°,

∴∠MPN＝∠MFE＝α＋20°＝55°,

∴∠PQC＝180°－55°＝125°.