Question

【題目】問題：如圖1，點，在直線的同側，在直線上找一點，使得的值最小．小明的思路是：如圖2，作點關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為所求.

請你參考小明同學的思路，探究并解決下列問題：

（1）如圖3，在圖2的基礎上，設與直線的交點為，過點作，垂足為. 若，，，寫出的值為____________；

（2）將（1）中的條件“”去掉，換成“”，其它條件不變，寫出此時的值 ___________；

（3）求+的最小值．

Answer 1

【答案】 3 5；

【解析】(1)、由勾股定理和相似三角形的性質，求得AP，BP的值即可；(2)、由勾股定理和相似三角形的性質，建立方程求解；(3)、結合圖形，由(1)(2)直接寫出即可．

(1)、如圖2，∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，
∴PA=，∴PA′=PA=，∵AA′∥BD，∴∠A′=∠B，∵∠A′PC=∠BPD，

∴△A′PC∽△BPD，∴，∴，∴PB=2， ∴AP+PB=+2=3；
(2)、作AE∥l，交BD的延長線于E，如圖3，
則四邊形A′EDC是矩形，∴AE=DC=PC+PD=3，DE=A′C=AC，∵BD=4-AC，
∴BD+AC=BD+DE=4，即BE=4，在Rt△A′BE中，A′B==5，∴AP+BP=5，
(3)、如圖3，設AC=2m-3，PC=1，則PA=；設BD=8-2m，PD=2，

則PB=，∵DE=AC=2m-3，∴BE=BD+DE=5，A′E=CD=PC+PD=3
∴PA+PB=A′B=．