Question

【題目】已知拋物線

若該拋物線經過點，試求的值及拋物線的頂點坐標．

求此拋物線的頂點坐標(用含的代數式表示) ，并證明：不論為何值，該拋物線的頂點都在同一條直線上．

直線截拋物線所得的線段長是否為定值?若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當時， ，其頂點坐標為，當時， ，其頂點坐標為；（2）頂點坐標為；證明見解析；（3）是，

【解析】

（1）將點P的坐標代入拋物線解析式中可求出m的值，再利用二次函數的性質可求出拋物線的頂點坐標；

（2）利用配方法找出拋物線的頂點坐標，由其縱坐標減橫坐標為定值，可得出不論m為何值，該拋物線的頂點坐標都在同一條直線l上；

（3）將直線l的解析式代入拋物線解析式中可得出關于x的一元二次方程，解之可得出交點的橫坐標，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出交點的坐標，再利用兩點間的距離公式可求出直線l截拋物線所得的線段長．

解：將代入

得

解得或

當時， ，其頂點坐標為

當時， ，其頂點坐標為

方法1：設頂點坐標為

則

頂點坐標為

方法2：

∵

頂點坐標為

證明：∵

不論為何值，該拋物線的頂點都在同一條直線上

是

將代入得

與拋物線的交點坐標分別為