Question

【題目】已知如圖，△ADC和△BDE均為等腰三角形，∠CAD=∠DBE，AC=AD，BD=BE，連接CE，點G為CE的中點，過點E作AC的平行線與線段AG延長線交于點F．

（1）當A，D，B三點在同一直線上時（如圖1），求證：G為AF的中點；

（2）將圖1中△BDE繞點D旋轉到圖2位置時，點A，D，G，F在同一直線上，點H在線段AF的延長線上，且EF=EH，連接AB，BH，試判斷△ABH的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△ABH為等腰三角形．理由見解析.

【解析】試題分析：（1）依據AC∥EF，可得∠ACG=∠FEG，根據點G為CE的中點，可得CG=EG，再根據∠AGC=∠FGE，即可得出△ACG≌△FEG，進而得到G為AF的中點；

（2）依據△ACG≌△FEG，可得AC=FE，再根據AC=AD，FE=HE，即可得到AD=HE，運用四邊形內角和以及同角的補角相等可得∠BEH=∠BDA，再根據BD=BE，即可得到△ADB≌△HEB，可得AB=HB，即△ABH是等腰三角形．

試題解析：解：（1）∵AC∥EF，∴∠ACG=∠FEG．∵點G為CE的中點，∴CG=EG．又∵∠AGC=∠FGE，∴△ACG≌△FEG，∴AG=FG，∴G為AF的中點；

（2）△ABH為等腰三角形．理由如下：

同（1）可證△ACG≌△FEG，∴AC=FE．又∵AC=AD，FE=HE，∴AD=HE，①

∵AC∥EF，∴∠GFE=∠CAD=∠DBE．∵EF=EH，∴∠EFH=∠EHF．∵∠EFH+∠GFE=180°，∴∠FHE+∠DBE=180°，∴四邊形BDHE中，∠BEH+∠BDF=180°．又∵∠BDA+∠BDF=180°，∴∠BEH=∠BDA，②

又∵BD=BE，③

∴由①②③，可得△ADB≌△HEB，∴AB=HB，即△ABH是等腰三角形．