Question

已知直角梯形OABC在如圖所示的平面直角坐標系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，動點M從A點出發，以每秒一個單位長度的速度沿AB向點B運動，同時動點N從C點出發，以每秒2個單位長度的速度沿CO向O點運動．當其中一個動點運動到終點時，兩個動點都停止運動．

（1）求B點坐標；

（2）設運動時間為t秒；

①當t為何值時，四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半；

②當t為何值時，四邊形OAMN的面積最小，并求出最小面積；

③若另有一動點P，在點M、N運動的同時，也從點A出發沿AO運動．在②的條件下，PM＋PN的長度也剛好最小，求動點P的速度．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）（10,9）

（2）

①6

②10    最小面積為54

③動點P的速度為個單位長度/ 秒

【解析】解（1）作BD⊥OC于D，則四邊形OABD是矩形，∴OD=AB=10 

∴CD=OC－OD=12   ∴OA=BD==9 

∴B（10，9） ……2分

（2）①由題意知：AM=t，ON=OC－CN=22－2t   

∵四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半

∴  

∴t=6  …5分

②設四邊形OAMN的面積為S，則   ……6分

∵0≤t≤10，且s隨t的增大面減小

∴當t=10時，s最小，最小面積為54。…8分

③如圖，取N點關于y軸的對稱點N/，連結MN/交AO于點P，

此時PM＋PN=PM＋PN/=MN長度最小。     ……9分

當t=10時，AM=t=10=AB，ON=22－2t=2 

∴M（10，9），N（2，0）∴N/（－2，0）     ……10分

設直線MN/的函數關系式為，則

  解得                 ……11分

∴P（0，） 

∴AP=OA－OP=

∴動點P的速度為個單位長度/ 秒   ……12分