Question

已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是y₁=-ax²-ax+1，y₂=ax²-ax-1（其中a為常數，且a＞0）．
（1）請寫出三條與上述拋物線有關的不同類型的結論；
（2）當a=

1

2

時，設y₁=-ax²-ax+1與x軸分別交于M，N兩點（M在N的左邊），y₂=ax²-ax-1與x軸分別交于E，F兩點（E在F的左邊），觀察M，N，E，F四點坐標，請寫出一個你所得到的正確結論，并說明理由；
（3）設上述兩條拋物線相交于A，B兩點，直線l，l₁，l₂都垂直于x軸，l₁，l₂分別經過A，B兩點，l在直線l₁，l₂之間，且l與兩條拋物線分別交于C，D兩點，求線段CD的最大值？

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的性質寫出三條不同的結論即可；
（2）先將a=

1

2

代入拋物線解析式，分別求得M、N、E、F四點坐標，再根據四點坐標寫出合理的結論；
（3）根據題意求出CD關于x的解析式，然后求出當x=0時，CD的值最大．

解答：（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如：
①拋物線y₁=-ax²-ax+1開口向下，或拋物線y₂=ax²-ax-1開口向上；
②拋物線y₁=-ax²-ax+1的對稱軸是x=-

1

2

，或拋物線y₂=ax²-ax-1的對稱軸是x=

1

2

；
③拋物線y₁=-ax²-ax+1經過點（0，1），或拋物線y₂=ax²-ax-1經過點（0，-1）；
④拋物線y₁=-ax²-ax+1與y₂=ax²-ax-1的形狀相同，但開口方向相反；
⑤拋物線y₁=-ax²-ax+1與y₂=ax²-ax-1都與x軸有兩個交點；
⑥拋物線y₁=-ax²-ax+1經過點（-1，1）或拋物線y₂=ax²-ax-1經過點（1，-1）；

（2）當a=

1

2

時，y1=-

1

2

x2-

1

2

x+1，令-

1

2

x2-

1

2

x+1=0，
解得x_M=-2，x_N=1．（4分）
y2=

1

2

x2-

1

2

x-1，令

1

2

x2-

1

2

x-1=0，解得x_E=-1，x_F=2．（5分）
①∵x_M+x_F=0，x_N+x_E=0，∴點M與點F對稱，點N與點E對稱；
②∵x_M+x_F+x_N+x_E=0，∴M，N，E，F四點橫坐標的代數和為0；
③∵MN=3，EF=3，∴MN=EF（或ME=NF）．（6分）

（3）∵a＞0，
∴拋物線y₁=-ax²-ax+1開口向下，拋物線y₂=ax²-ax-1開口向上．（7分）
根據題意，得CD=y₁-y₂=（-ax²-ax+1）-（ax²-ax-1）=-2ax²+2．（8分）
∴當x=0時，CD的最大值是2．（9分）

點評：本題是二次函數的綜合題，題中涉及拋物線的性質以及最值的求法等知識點，解題時要注意數形結合數學思想的運用，是各地中考的熱點和難點，同學們要加強訓練，屬于中檔題．