Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC的度數是（　　）

A. 106°B. 108°C. 110°D. 112°

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接OB、OC，根據角平分線的定義求出∠BAO，根據等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OA＝OB，根據等邊對等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判斷出點O是△ABC的外心，根據三角形外心的性質可得OB＝OC，再根據等邊對等角求出∠OCB＝∠OBC，根據翻折的性質可得OE＝CE，然后根據等邊對等角求出∠COE，再利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．

解：如圖，連接OB、OC，

∵∠BAC＝54°，AO為∠BAC的平分線，

∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，

又∵AB＝AC，

∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°，

∵DO是AB的垂直平分線，

∴OA＝OB，

∴∠ABO＝∠BAO＝27°，

∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，

∵AO為∠BAC的平分線，AB＝AC，

∴△AOB≌△AOC（SAS），

∴OB＝OC，

∴點O在BC的垂直平分線上，

又∵DO是AB的垂直平分線，

∴點O是△ABC的外心，

∴∠OCB＝∠OBC＝36°，

∵將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，

∴OE＝CE，

∴∠COE＝∠OCB＝36°，

在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°，

故選：B．