Question

如圖一，在△ABC中，分別以AB，AC為直徑在△ABC外作半圓O₁和半圓O₂，其中O₁和O₂分別為兩個半圓的圓心．F是邊BC的中點，點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點．
（1）連接O₁F，O₁D，DF，O₂F，O₂E，EF，證明：△DO₁F≌△FO₂E；
（2）如圖二，過點A分別作半圓O₁和半圓O₂的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q，連接PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求線段PQ的長；
（3）如圖三，過點A作半圓O₂的切線，交CE的延長線于點Q，過點Q作直線FA的垂線，交BD的延長線于點P，連接PA．證明：PA是半圓O₁的切線．

Answer 1

分析：（1）利用中位線定理可得∠BO₁F=∠CO₂F，進而可得∠DO₁F=∠FO₂E，易得O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，可得：△DO₁F≌△FO₂E；
（2）易得△ACE和△ACQ，△ABD，△APD均為等腰直角三角形，那么可得AB，AC的長，利用勾股定理可得BC的長，利用頂點A及AB邊構造和△PAQ全等的三角形AGB，利用勾股定理求得BG的長即為PQ的長；
（3）需證∠6+∠8=90°，那么證明∠5+∠7=90°即可；利用四點共圓的性質可得△DBR≌△DAM，進而可得∠5=∠9，即可求證．

解答：（1）證明：如圖一，

∵O₁，O₂，F分別是AB，AC，BC邊的中點，
∴O₁F∥AC且O₁F=AO₂，O₂F∥AB且O₂F=AO₁，
∴∠BO₁F=∠BAC，∠CO₂F=∠BAC，
∴∠BO₁F=∠CO₂F
∵點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點，
∴O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，
∠BO₁D=90°，∠CO₂E=90°，
∴∠BO₁D=∠CO₂E．
∴∠DO₁F=∠FO₂E．
∴△DO₁F≌△FO₂E；

（2）解：如圖二，延長CA至G，使AG=AQ，連接BG、AE．

∵點E是半圓O₂圓弧的中點，
∴AE=CE=3
∵AC為直徑
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC=45°，AC=

AE2+CE2

=3

2

，
∵AQ是半圓O₂的切線，
∴CA⊥AQ，
∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°，
∴AQ=AC=AG=3

2

，
同理：∠BAP=90°，AB=AP=5

2

，
∴CG=6

2

，∠GAB=∠QAP，
∴△AQP≌△AGB．
∴PQ=BG，
∵∠ACB=90°，
∴BC=

AB2-AC2

=4

2

，
∴BG=

GC2+BC2

=2

26

，
∴PQ=2

26

；

（3）如圖三，設直線FA與PQ的垂足為M，過C作CS⊥MF于S，過B作BR⊥MF于R，連接DR、AD、DM．

∵F是BC邊的中點，∴S_△ABF=S_△ACF．
∴BR=CS，
由（2）已證∠CAQ=90°，AC=AQ，
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ，∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠2=∠4，
∴△AMQ≌△CSA，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可證AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°，
∴∠ADB=∠ARB=90°，∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四點在以AB為直徑的圓上，A、D、P、M四點在以AP為直徑的圓上，
且∠DBR+∠DAR=180°，
∴∠5=∠8，∠6=∠7，
∵∠DAM+∠DAR=180°，
∴∠DBR=∠DAM
∴△DBR≌△DAM，
∴∠5=∠9，
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB，又AB是半圓O₁直徑，
∴PA是半圓O₁的切線．

點評：綜合考查了圓與全等的有關知識；利用中位線定理及構造三角形全等，利用全等的性質解決相關問題是解決本題的關鍵．