Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AD交AB于點E，M為AE的中點，BF⊥BC交CM的延長線于點F，BD=4，CD=3．下列結論：①∠AED=∠ADC；②=；③ACBE=12；④3BF=4AC，其中結論正確的是______（填序號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，∠EAD=∠DAC；
②易證△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC不一定等于4；
③當FC⊥AB時成立；
④連接DM，可證DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易證△FMB∽△CMA，得比例線段求解；

解：①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，
∵∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC．
故本選項正確；
②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，
∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，但AC的值未知，
故不一定正確；
③由①知∠AED=∠ADC，
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，
∴ACBE=BDDC=12．
故本選項正確；
④連接DM，

在Rt△ADE中，MD為斜邊AE的中線，
則DM=MA．
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，
∴3BF=4AC．
故本選項正確．
綜上所述，①③④正確，共有3個．
故答案為：①③④．

“點睛“此題重點考查相似三角形的判定和性質，綜合性強，證明△ADE∽△ACD和△FMB∽△CMA是解決本題的關鍵.