Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸于點A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列四個命題：

①當x＞0時，y＞0；

②若a=﹣1，則b=3；

③拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2；

④點C關于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F分別在x軸和y軸上，當m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為6．

其中真命題的序號是____________．

Answer 1

【答案】②③．

【解析】

（1）根據二次函數所過象限，判斷出y的符號；

（2）根據A、B關于對稱軸對稱，求出b的值；

（3）根據，由x1＜1＜x2，從而得到Q點距離對稱軸較遠，由圖象性質判斷出y1＞y2；

（4）作D關于y軸的對稱點，E關于x軸的對稱點，連接，DE和的和即為四邊形EDFG周長的最小值，求出D、E、、的坐標即可解答．

（1）當x＞0時，函數圖象過一、四象限，當0<x<b時，y>0；當x>b時，y<0，故本選項錯誤；

（2）二次函數對稱軸為x=-=1，點A、B關于x=1對稱，當a=-1時，有=1，解得b=3，故本選項正確；

（3）∴x1+x2＞2，

∴，

又∵x1＜1＜x2，

∴Q點距離對稱軸較遠，

∵函數圖象開口向下，

∴y1＞y2，故本選項正確；

（4）如圖，作D關于x軸的對稱點，E關于x軸的對稱點，連接，的和即為四邊形EDFG周長的最小值，

當m=2時，二次函數為y=﹣x2+2x+3，頂點縱坐標為y=-1+2+3=4，D為（1，4），則為（-1，4），C點坐標為（0，3），則E為（2，3），為（2，-3）則DE=，=，

∴四邊形EDFG周長的最小值為，

∴四邊形EDFG周長的最小值為，故本選項錯誤，

故答案為：②③．