Question

【題目】閱讀理解：

我們把滿足某種條件的所有點所組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．

例如：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點的軌跡．

問題：如圖1，已知EF為△ABC的中位線，M是邊BC上一動點，連接AM交EF于點P，那么動點P為線段AM中點．

理由：∵線段EF為△ABC的中位線，∴EF∥BC，

由平行線分線段成比例得：動點P為線段AM中點．

由此你得到動點P的運動軌跡是： ．

知識應用：

如圖2，已知EF為等邊△ABC邊AB、AC上的動點，連結EF；若AF=BE，且等邊△ABC的邊長為8，求線段EF中點Q的運動軌跡的長．

拓展提高：

如圖3，P為線段AB上一動點（點P不與點A、B重合），在線段AB的同側分別作等邊△APC和等邊△PBD，連結AD、BC，交點為Q．

（1）求∠AQB的度數；

（2）若AB=6，求動點Q運動軌跡的長．

Answer 1

【答案】閱讀理解：EF；知識應用：4；拓展提高：（1）∠AQB=120°，（2）動點Q運動軌跡的長π．

【解析】

試題分析：閱讀理解：根據軌跡的定義可知，動點P的運動軌跡是線段EF．知識應用：如圖1中，作△ABC的中位線MN，作EG∥AC交NM的延長線于G，EF與MN交于點Q′，△GQ′E≌△NQ′F，推出Q、Q′重合即可解決問題．拓展提高：如圖2中，（1）只要證明△APD≌△CPB，推出∠DQG=∠BPG=60°結論解決問題．（2）由（1）可知點P的運動軌跡是，設弧AB所在圓的圓心為O，Z 圓上任意取一點M，連接AM，BM，則∠M=60°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH=，OB=2，利用弧長公式即可解決．

試題解析：閱讀理解：根據軌跡的定義可知，動點P的運動軌跡是線段EF．

知識應用：如圖1中，作△ABC的中位線MN，作EG∥AC交NM的延長線于G，EF與MN交于點Q′

∵△ABC是等邊三角形，MN是中位線，

∴AM=BM=AN=CN，

∵AF=BE，

∴EM=FN，

∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B=∠GME=60°，

∵∠A=∠GEM=60°，

∴△GEM是等邊三角形，

∴EM=EG=FN，

在△GQ′E和△NQ′F中，

，

∴△GQ′E≌△NQ′F，

∴EQ′=FQ′，

∵EQ=QF，

′點Q、Q′重合，

∴點Q在線段MN上，

∴段EF中點Q的運動軌跡是線段MN，

MN=BC=×8=4．

∴線段EF中點Q的運動軌跡的長為4．

拓展提高：如圖2中，

（1）∵△APC，△PBD都是等邊三角形，

∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，

∴∠APD=∠CPB，

在△APD和△CPB中，

，

∴△APD≌△CPB，

∴∠ADP=∠CBP，設BC與PD交于點G，

∵∠QGD=∠PGB，

∴∠DQG=∠BPG=60°，

∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°

（2）由（1）可知點P的運動軌跡是，設弧AB所在圓的圓心為O，Z 圓上任意取一點M，連接AM，BM，則∠M=60°，

∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH=，OB=2，

∴弧AB的長==π．

∴動點Q運動軌跡的長π．