Question

【題目】已知：如圖1，點、、依次在直線上，現將射線繞點沿順時針方向以每秒的速度旋轉，同時射線繞點沿逆時針方向以每秒的速度旋轉，如圖，設旋轉時間為（秒秒）.

（1）用含的代數式表示的度數.

（2）在運動過程中，當第二次達到時，求的值.

（3）在旋轉過程中是否存在這樣的，使得射線是由射線、射線、射線中的其中兩條組成的角（指大于而不超過的角）的平分線？如果存在，請直接寫出的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）∠MOA=2t；（2）40秒；（3）t的值分別為18、22.5、36、67.5秒.

【解析】

（1）∠AOM的度數等于OA旋轉速度乘以旋轉時間；

（2）當∠AOB第二次達到60°時，射線OB在OA的左側，根據∠AOM+∠BON-∠MON=60°列方程求解可得；

（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有三種情況：

①OB平分∠AOM時，根據∠AOM=∠BOM，列方程求解，

②OB平分∠MON時，根據∠BOM=∠MON，列方程求解，

③OB平分∠AON時，根據∠BON=∠AON，列方程求解．

（1）由題意得：∠MOA=2t；

（2）如圖，

根據題意知：∠AOM=2t，∠BON=4t，

當∠AOB第二次達到60°時，∠AOM+∠BON-∠MON=60°，

即2t+4t-180=60，解得：t=40，

故t=40秒時，∠AOB第二次達到60°；

（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有以下三種情況：

①OB平分∠AOM時，

∵∠AOM=∠BOM，

∴t=180-4t，

解得：t=36；

②OB平分∠MON時，

∵∠BOM=∠MON，即∠BOM=90°，

∴4t=90，或4t-180=90，

解得：t=22.5，或t=67.5；

③OB平分∠AON時，

∵∠BON=∠AON，

∴4t=（180-2t），

解得：t=18；

綜上，當t的值分別為18、22.5、36、67.5秒時，射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線．