Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知拋物線，點A（2，4）．
（Ⅰ）求直線OA的解析式；
（Ⅱ）直線x=2與x軸相交于點B，將拋物線C₁從點O沿OA方向平移，與直線x=2交于點P，頂點M到A點時停止移動，設拋物線頂點M的橫坐標為m．
①當m為何值時，線段PB最短？
②當線段PB最短時，相應的拋物線上是否存在點Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）將拋物線C₁作適當的平移，得拋物線，若點D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）在拋物線C₂上，且D、E兩點關于坐標原點成中心對稱，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設直線OA的解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4．
∴k=2．
∴直線OA的解析式為y=2x．

（Ⅱ）①∵頂點M的橫坐標為m，且在線段OA上移動，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴頂點M的坐標為（m，2m）．
∴拋物線的解析式為y=（x-m）²+2m．
當x=2時，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴點P的坐標是（2，m²-2m+4）．
∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴當m=1時，線段PB最短．
②當線段PB最短時，拋物線的解析式為y=x²-2x+3，點P的坐標是（2，3）．
假設在拋物線上存在點Q，使S_△QMA=S_△PMA．
當點Q落在直線OA的下方時，過點P作直線PC∥AO交y軸于點C．
∵PB=3，BA=4，
∴AP=1．
∴直線PC的解析式為y=2x-1．
根據題意，列出方程組
∴x²-2x+3=2x-1．
解得x₁=2，x₂=2．
∴即點Q的坐標是（2，3）．
∴點Q與點P重合．
∴此時拋物線上不存在點Q使△QMA與△PMA的面積相等．
當點Q落在直線OA的上方時，作點P關于點A的對稱點D，過點D作直線DE∥AO，交y軸于點E，
∵AP=1，
∴DA=1．
∴直線DE的解析式為y=2x+1．
根據題意，列出方程組
∴x²-2x+3=2x+1．
解得，．
∴或
∴此時拋物線上存在點Q₁（，），Q₂（，），使△QMA與△PMA的面積相等．
綜上所述，拋物線上存在點Q₁（，），Q₂（，），使△QMA與△PMA的面積相等．

（Ⅲ）∵點D、E關于原點成中心對稱，
∴x₂=-x₁，y₂=-y₁①
∵D、E兩點在拋物線C₂上，
∴，②．③
把①代入③，得．④
②-④得2y₁=-2x₁．
∴y₁=-x₁．
設直線DE的解析式為y=k′x，
由題意，x₁≠0，
∴k′=-1．
∴直線DE的解析式為y=-x．
根據題意，列出方程組
則有x²+c=0，即x²=-c．
∵點D、E在拋物線C₂上，即拋物線C₂與直線DE有兩個公共點，
∴-c＞0，即c＜0．
∴c的取值范圍是c＜0．
分析：（I）直線OA的解析式為y=kx，把點A（2，4）代入即可求出k的值，進而得出直線的解析式；
（II）①由頂點M的橫坐標為m，且在線段OA上移動可得出y與m的函數關系式，故可得出拋物線的解析式，當x=2時可得出y與m的函數關系式，進而可得出P點坐標，由m的取值范圍即可得出結論；
②當線段PB最短時，拋物線的解析式為y=x²-2x+3，點P的坐標是（2，3）．假設在拋物線上存在點Q，使S_△QMA=S_△PMA，當點Q落在直線OA的下方時，過點P作直線PC∥AO交y軸于點C．PB=3，BA=4，可知直線PC的解析式為y=2x-1，聯立直線與拋物線的解析式即可求出Q點的坐標；當點Q落在直線OA的上方時，作點P關于點A的對稱點D，過點D作直線DE∥AO，交y軸于點E，同理可得直線DE的解析式，立直線與拋物線的解析式即可求出Q點的坐標；
（III）由點D、E關于原點成中心對稱，可知x₂=-x₁，y₂=-y₁，再由D、E兩點在拋物線C₂上，可得出y與x的關系式，聯立直線DE與拋物線的解析式即可得出x²+c=0，點D、E在拋物線C₂上，即拋物線C₂與直線DE有兩個公共點，
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數與二次函數的解析式、一元二次方程根的判別式等知識，難度較大．