Question

【題目】如圖，D 為∠BAC 的外角平分線上一點并且滿足 BD＝CD， 過 D 作 DE⊥AC 于 E，DF⊥AB 交 BA 的延長線于 F，則下列結論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正確的結論有______

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝DF，再利用“HL”證明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CE＝AF，利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB＋AE；根據全等三角形對應角相等可得∠DBF＝∠DCE，然后求出A、B、C、D四點共圓，根據同弧所對的圓周角相等得到∠BDC＝∠BAC；∠DAE＝∠CBD，再根據全等三角形對應角相等可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD．

∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴DE＝DF，

在Rt△CDE和Rt△BDF中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正確；

∴CE＝AF，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE＝AF，

∴CE＝AB＋AF＝AB＋AE，故②正確；

∵Rt△CDE≌Rt△BDF，

∴∠DBF＝∠DCE，

∴A、B、C、D四點共圓

∴∠BDC＝∠BAC，故③正確；

由A、B、C、D四點共圓也得到∠DAE＝∠CBD，

∵Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴∠DAE＝∠DAF，

∴∠DAF＝∠CBD，故④正確；

綜上所述，正確的結論有①②③④.

故填：①②③④