Question

【題目】如圖1，在正方形中，是對角線上的一點，點在的延長線上，交于，．

（1）求證：；

（2）連接，若，求；

（3）如圖2，若把正方形改為菱形，其他條件不變，當時，猜想與的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE＝；（3）BE＝DF，理由見解析

【解析】

（1）根據正方形的性質證明△BCE≌△DCE即可；

（2）過E作EK⊥DC于K，EH⊥BC于H，構建正方形EHCK，通過證明Rt△DEK≌Rt△FEH得出△DEF是等腰直角三角形，進而得解；

（3）先證明△BCE≌△DCE，得∠EBC＝∠EDC，BE＝ED，根據三角形內角和可得∠DEF＝∠DCF＝∠ABC＝60°，進而得出△DEF是等邊三角形，可得結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，

∵EC＝EC，

∴△BCE≌△DCE，

∴BE＝ED，

∵EF＝ED，

∴EB＝EF；

（2）解：如圖1，過E作EK⊥DC于K，EH⊥BC于H，

∴∠EKC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，

∴四邊形EHCK是矩形，

∵∠ECH＝45°，

∴△EHC是等腰直角三角形，

∴EH＝CH，

∴矩形EHCK是正方形，

∴EK＝EH，

∴Rt△DEK≌Rt△FEH，

∴∠DEK＝∠FEH，

∴∠DEK+∠FEK＝∠FEH+∠FEK，

∴∠DEF＝90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∵DF＝2，

∴DE＝，

∴BE＝；

（3）解：BE＝DF，理由是：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，

∵EC＝EC，

∴△BCE≌△DCE，

∴∠EBC＝∠EDC，BE＝ED，

∵EF＝ED，

∴EB＝EF，

∴∠EBC＝∠EFC，

∴∠EDC＝∠EFC，

∵∠EGD＝∠CGF，

∴∠DEF＝∠DCF＝∠ABC＝60°，

∴△DEF是等邊三角形，

∴DF＝EF，

∴BE＝DF．