Question

【題目】（2017山東省泰安市）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點P是AC延長線上一點，且PD⊥AD．

（1）證明：∠BDC=∠PDC；

（2）若AC與BD相交于點E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題（1）直接利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合互余的定義得出∠BDC=∠PDC；

（2）首先過點C作CM⊥PD于點M，進而得出△CPM∽△APD，求出EC的長即可得出答案．

試題解析：解：（1）∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°．∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；

（2）過點C作CM⊥PD于點M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴，設(shè)CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴，解得：x=，故AE=1﹣=．