Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的部分記作圖形L．

（1）求△ABC的面積；
（2）設AD=x，圖形L的面積為y，求y關于x的函數解析式；
（3）已知圖形L的頂點均在⊙O上，當圖形L的面積最大時，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖3，作AH⊥BC于H，

∴∠AHB=90°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=3．

∵∠AHB=90°，

∴BH= BC=

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AH= ．

∴S△ABC= =

（2）

解：如圖1，當0＜x≤1.5時，y=S△ADE．

作AG⊥DE于G，

∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，

∴DG= x，AG= x，

∴y= = x2，

∵a= ＞0，開口向上，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，

∴x=1.5時，y最大= ，

如圖2，當1.5＜x＜3時，作MG⊥DE于G，

∵AD=x，

∴BD=DM=3﹣x，

∴DG= （3﹣x），MF=MN=2x﹣3，

∴MG= （3﹣x），

∴y= ，

=﹣ ；

綜上所述，y關于x的函數解析式為：

（3）

解：如圖4，∵y=﹣ ；

∴y=﹣ （x2﹣4x）﹣ ，

y=﹣ （x﹣2）2+ ，

∵a=﹣ ＜0，開口向下，

∴x=2時，y最大= ，

∵ ＞ ，

∴y最大時，x=2，

∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，連接MO，ME．

∴DO=OE=1，

∴DM=DO．

∵∠MDO=60°，

∴△MDO是等邊三角形，

∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．

∴MO=OE，∠MOE=120°，

∴∠OME=30°，

∴∠DME=90°，

∴DE是直徑，

S⊙O=π×12=π．

【解析】（1）作AH⊥BC于H，根據勾股定理就可以求出AH，由三角形的面積公式就可以求出其值；（2）如圖1，當0＜x≤1.5時，由三角形的面積公式就可以表示出y與x之間的函數關系式，如圖2，當1.5＜x＜3時，重疊部分的面積為梯形DMNE的面積，由梯形的面積公式就可以求出其關系式；（3）如圖4，根據（2）的結論可以求出y的最大值從而求出x的值，作FO⊥DE于O，連接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直徑，由圓的面積公式就可以求出其值．
【考點精析】本題主要考查了翻折變換（折疊問題）的相關知識點，需要掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能正確解答此題．