Question

【圖形變換的探究與猜想】
從特殊到一般，從全等到相似；求證線段的數量關系或位置關系．關鍵是第一問的全等的證明，發現全等的三角形，一般是利用ASA完成證明，從而得到需要證明的相似三角形（利用兩邊對應成比例且夾角相等）．
例：正方形ABCD，E為直線AB上任意一點，DF⊥DE交直線BC于點F，直線EF、AC交于點H，連接DH．

（1）①如圖1，當點E在邊AB上時，判斷線段DH與線段EF之間的數量關系和位置關系；
②如圖2，當點E在邊AB的反向延長線上時，判斷線段DH與線段EF之間的數量關系和位置關系；寫出你的結論并從①、②中任選一個證明；
（2）如圖3，若點E在AB邊的延長線上，其它條件不變，完成圖3，判斷線段DH與線段EF之間的數量關系和位置關系，直接寫出你的結論，不需要證明；
（3）如圖4，若將圖1中的正方形ABCD改為矩形ABCD為正方形，且AB=kAD，其它條件不變，判斷線段DH與線段EF之間的數量關系和位置關系，直接寫出結論，不需要證明．

Answer 1

分析：（1）①求出AD=DC，∠EAD=∠FCD，∠EDA=∠FDC，證△EAD≌△FCD，推出ED=DF，求出∠EDF=90°，求出∠DFE=45°=∠DCA，推出D、H、C、F四點共圓，推出∠DHF=∠DCF=90°，根據等腰三角形性質和直角三角形斜邊上中線性質求出DH=

1

2

EF即可；
②求出AD=DC，∠EAD=∠FCD，∠EDA=∠FDC，證△EAD≌△FCD，推出ED=DF，求出∠EDF=90°，求出∠DFE=45°=∠DCA，推出D、H、F、C四點共圓，推出∠DHF=∠DCF=90°，根據等腰三角形性質和直角三角形斜邊上中線性質求出DH=

1

2

EF即可；
（2）畫出圖形，證△ADE≌△CDF，推出DE=DF，求出∠EDF=90°，求出∠DFE=45°=∠DCA，推出D、H、F、C四點共圓，推出∠DHF=∠DCF=90°，根據等腰三角形性質和直角三角形斜邊上中線性質求出DH=

1

2

EF即可；
（3）證△ADE∽△CDF，推出

DE

DF

=

AD

DC

=

1

k

，根據解直角三角形求出∠DFE=∠DCA，推出D、F、C、H、四點共圓，推出∠DHF=∠DCF=90°，設DE=x，DF=kx，根據勾股定理EF=

1+k2

x，證△DHE∽△FDE，求出DH，即可求出答案．

解答：解：（1）①DH=

1

2

EF，DH⊥EF，
理由是：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠DCA=45°，∠DAE=∠ADC=∠DCB=∠DCF=90°，
∵ED⊥DF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠ADE=∠CDF，
在△EAD和△FCD中

∠DAE=∠DCF AD=DC ∠ADE=∠CDF

∴△EAD≌△FCD（ASA），
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠ACD，
∴D、H、C、F四點共圓，
∴∠DHF=∠DCF=90°，
∴DH⊥EF，
∵DE=DF，
∴EH=FH，
∵∠EDF=90°，
∴DH=

1

2

EF．
②DH=

1

2

EF，DH⊥EF，
證明過程和①類似．

（2）DH=

1

2

EF，DH⊥EF．證明過程和①類似．

（3）DH⊥EF，DH=

1

1+k2

EF，
理由是：∵由①知，∠ADE=∠FDC，∠DAE=∠DCF，
∴△ADE∽△CDF，
∴

AD

DC

=

DE

DF

，
∵AB=DCkAD，
∴DE=kDF，
設DE=x，DF=kx，
在Rt△EDF中，由勾股定理得：EF=

DE2+DF2

=

1+k2

x，
∵在Rt△CDA中，tan∠DCA=

AD

DC

=

1

k

，在Rt△DEF中，tan∠DFE=

DE

DF

=

AD

DC

=

1

k

，
∴∠DCA=∠DFE，
∴∠DHF=∠DCF=90°，
∴DH⊥EF，
∴∠DHE=∠EDF，
∵∠DEF=∠DEH，
∴△DHE∽△FDE，
∴

DH

DE

=

DE

EF

，
∴DH=

x

1+k2 x

•x=

x

1+k2

，
∵EF=

1+k2

x，
∴DH=

1

1+k2

EF．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線的性質，解直角三角形，勾股定理等知識點的應用，主要考查學生的推理能力，難度偏大．