Question

如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，CD=3，AD=4，tanB=2，過點C作CH⊥AB，垂足為H．點P為線段AD上一動點，直線PE∥AB，分別交BC、CH于點E、Q．以PE為斜邊向右作等腰Rt△PEF，直線EF交直線AB于點M，直線PF交直線AB于點N．設PD的長為x，MN的長為y．
（1）求PE的長（用x表示）；
（2）求y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍（圖2為備用圖）；
（3）當點M在線段AH上時，求x的取值范圍（圖3為備用圖）．

Answer 1

解：（1）∵矩形ADCH，PE∥AB，
∴四邊形CDPQ為矩形，
∴PQ=CD=3，CQ=PD=x；
∵PE∥CD，∴∠CEP=∠B，∴tan∠CEP==2；
∴EQ=，∴PE=3+．

（2）當點N在線段AH上時，過點F作FG⊥EP于G，GF的延長線交AB于點K；
∵等腰Rt△PEF，FG=EP=（3+）=+，
∴FK=AP-FG=（4-x）-（+）=-x；
∴y=2FK=5-x；
∵PD+FG≤AD，∴x+（3+）≤4，
∴0≤x≤2．
當點N在矩形ADCH外部時，由題意得：
AH=3，AP=4-x，QK=QE=，∠HKM=∠HMK=45°；
∴KH=MH=4-x-=4-x；
同理：AP=AN=4-x，
∴y=AH-AN-HM=3-（4-x）-（4-x），即y=x-5；
∵PD≤4，∴2＜x≤4．

（3）如圖，當M、A重合時，AH=HK=3，QE=QK=；
∴HK=AP-QK=（4-x）-x=4-x，
當點M從點A移動到點H時，K與H重合，即0≤KH≤3；
∴0≤4-x≤3，解得：≤x≤；
即當點M在線段AH上時，x的取值范圍是≤x≤．
分析：（1）已知了PD的長為x，即CQ=x，結合∠B的正切值即可求得EQ的長，進而由PE=PQ+EQ求得PE表達式．
（2）此題分兩種情況討論：
①點N在矩形ADCH的內部，可過F作AH、PQ的垂線，設垂足為K、G；易知△MNF是等腰直角三角形，欲求MN，只需求出FK即可，已知了PE的表達式，即可得到FG的表達式，而KG的長易知，即可得到KF的值，由此求得y、x的函數關系式；
②當點N在矩形的外部時，那么△KMH、△ANP都是等腰直角三角形，欲求MN，需求出HM、AN，即KH、AP的長，AP的長易知，關鍵是KH的值；在等腰Rt△EQK中，QK=QE，即可得到KQ的長，而CQ=PD=x，由此可得KH的表達式，即可求出MN的長，從而求得y、x的函數關系式．
（3）首先由M、A重合時求得求得KH的表達式，當M從A移動到H時，此時K也與H重合，由此可得KH的取值范圍，聯立KH的表達式即可得到x的取值范圍．
點評：此題主要考查了直角梯形、等腰直角三角形、矩形的性質以及銳角三角函數的定義等知識，在涉及動點問題時，一定要注意分類討論思想的運用，以免漏解．