Question

【題目】在中，是的中線，為的中點，過點作與的延長線相交于點，連接．

（1）如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；

　　　

（2）如圖2，若，請直接寫出圖中所有的等腰三角形，不需要證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圖中所有的等腰三角形為△ACE、△CDE、△BCF、△AEF．

【解析】

（1）根據AAS可證△AEF≌△DEC，可得AF＝DC，結合條件，得AF＝BD，AF∥BD，進而即可得到結論；

（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得△ACE、△CDE、△AEF是等腰三角形，由AD=FC，結合四邊形是平行四邊形，可得△BCF是等腰三角形．

（1）∵E是AD的中點，

∴AE＝DE，

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE，

在△AEF和△DEC中，

∵，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF＝DC，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD＝DC，

∴AF＝BD，

又∵AF∥BC，即AF∥BD，

∴四邊形BDAF是平行四邊形；

（2）∵∠ACD＝90°，E是AD的中點，

∴CE＝AD＝AE＝DE，

∴△ACE和△CDE是等腰三角形，

由（1）得：△AEF≌△DEC，

∴FE＝CE，

∴CE＝AD＝AE＝DE＝FE，

∴△AEF是等腰三角形，

∵四邊形BDAF是平行四邊形，

∴BF＝AD=CF，

∴△BCF是等腰三角形，

綜上所述：圖中所有的等腰三角形為：△ACE、△CDE、△BCF、△AEF．