Question

【題目】（12分）已知O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC.

（1）如圖①，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度數；

（2）在圖①中，若∠AOC＝a，直接寫出∠DOE的度數（用含a的代數式表示）；

（3）將圖①中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉至圖②的位置.

①探究∠AOC和∠DOE的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由；

②在∠AOC的內部有一條射線OF，且∠AOC－4∠AOF＝2∠BOE＋∠AOF，試確定∠AOF與∠DOE的度數之間的關系，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）；（3）①∠AOC＝2∠DOE；②4∠DOE－5∠AOF＝180°.

【解析】試題分析：(1)由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度數；

(2)由(1)可得出結論∠DOE=∠AOC，從而用含a的代數式表示出∠DOE的度數；

(3)①由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，則得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2(90°-∠DOE)，從而得出∠AOC和∠DOE的度數之間的關系；

②設∠DOE=x，∠AOF=y，根據已知和：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，得出4x-5y=180，從而得出結論．

解：(1)由已知得∠BOC＝180°－∠AOC＝150°，又∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠DOE＝∠COD－∠BOC＝90°－×150°＝15°.

(2)∠DOE＝a.　解析：由(1)知∠DOE＝∠COD－∠BOC＝90°，∴∠DOE＝90°－ (180°－∠AOC)＝∠AOC＝α.

(3)①∠AOC＝2∠DOE.理由如下：

∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，

∴∠COE＝∠BOE＝90°－∠DOE，

∴∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－2∠COE＝180°－2(90°－∠DOE)，∴∠AOC＝2∠DOE.

②4∠DOE－5∠AOF＝180°.

理由如下：設∠DOE＝x，∠AOF＝y，

∴∠AOC－4∠AOF＝2∠DOE－4∠AOF＝2x－4y，2∠BOE＋∠AOF＝2(90°－x)＋y＝180°－2x＋y，

∴2x－4y＝180°－2x＋y，即4x－5y＝180°，

∴4∠DOE－5∠AOF＝180°.