Question

【題目】如圖所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D為BC的中點.

(1)若E,F分別是AB,AC上的點,且AE=CF,求證:△AED≌△CFD;

(2)當點F,E分別從C,A兩點同時出發,以每秒1個單位長度的速度沿CA,AB運動,到點A,B時停止;設△DEF的面積為y,F點運動的時間為x,求y與x的函數關系式;

(3)在(2)的條件下,點F,E分別沿CA,AB的延長線繼續運動,求此時y與x的函數關系式.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y=x2-3x+9.

【解析】試題分析：（1）利用等腰直角三角形的性質得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，進而得到AD=BD=DC，再利用SAS可判定△AED≌△CFD； （2）利用S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC="9" 即可得到y與x之間的函數關系式；（3）依題意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，從而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面積相等得到S△ADF=S△BDE從而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可確定兩個變量之間的函數關系式．

試題解析：（1）證明：∵∠BAC="90°" AB=AC=6，D為BC中點

∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°

∴AD=BD=DC

∵AE=CF∴△AED≌△CFD

（2）解：依題意有：FC=AE=x，

∵△AED≌△CFD

∴S四邊AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9

S△EDF=S四邊AEDF-S△AEF=9- =；

∴

（3）解：依題意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°

∴∠DAF=∠DBE=135°

∴△ADF≌△BDE

∴S△ADF=S△BDE

∴S△EDF=S△EAF+S△ADB

= +9=；

∴．