Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象與y軸交于點A（0，8），與x軸交于B、C兩點，其中點C的坐標為（4，0）．點P（m，n）為該二次函數在第二象限內圖象上的動點，點D的坐標為（0，4），連接BD．

（1）求該二次函數的表達式及點B的坐標；

（2）連接OP，過點P作PQ⊥x軸于點Q，當以O、P、Q為頂點的三角形與△OBD相似時，求m的值；

（3）連接BP，以BD、BP為鄰邊作BDEP，直線PE交x軸于點T．當點E落在該二次函數圖象上時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1） ,（﹣8，0）；（2）﹣4或﹣1﹣ ；（3）（1，）.

【解析】

（1）直接將A，C兩點代入即可求

（2）可設P（m，-m2-m+8），由∠OQP=∠BOD=90°，則分兩種情況：△POQ∽△OBD和△POQ∽△OBD分別求出PQ與OQ的關系即可

（3）作平行四邊形，實質是將B、P向右平移8個單位，再向上平移4個單位即可得到點E和點D，點E在二次函數上，代入即可求m的值，從而求得點E的坐標．

（1）把A（0，8），C（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得

，解得

∴該二次函數的表達為y＝﹣x2﹣x+8

當y＝0時，﹣x2﹣x+8＝0，解得x1＝﹣8，x2＝4

∴點B的坐標為（﹣8，0）

（2）設P（m，﹣m2﹣m+8），由∠OQP＝∠BOD＝90°，分兩種情況：

當△POQ∽△OBD時，

∴PQ＝2OQ

即﹣m2﹣m+8＝2×（﹣m），解得m＝﹣4，或m＝8（舍去）

當△POQ∽△OBD時，

∴OQ＝2PQ

即﹣m＝2×（﹣m2﹣m+8），解m＝﹣1﹣ 或m＝﹣1+（舍去）

綜上所述，m的值為﹣4或﹣1﹣

（3）∵四邊形BDEP為平行四邊形，

∴PE∥BD，PE＝BD

∵點B向右平移8個單位，再向上平移4個單位得到點D

∴點P向右平移8個單位，再向上平衡4個單位得到點E

∵點P（m，﹣m2﹣m+8），

∴點E（m+8，﹣m2﹣m+12），

∵點E落在二次函數的圖象上

∴﹣（m+8）2﹣（m+8）+8＝﹣m2﹣m+12

解得，m＝﹣7

∴點E的坐標為（1，）．