Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點D（如圖1).

(1)若AB=2，∠B=30°，求CD的長；

(2) 取AC的中點E,連結D、E（如圖2），求證：DE與⊙O相切.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：連接AD ,根據AC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，得到∠CAB=∠ADB=90°，根據∠B=30°，解直角三角形求得的長度.

連接OD，AD.根據DE=CE=EA，∠EDA=∠EAD. 根據OD=OA，得到

∠ODA=∠DAO，得到∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠DAO.得到∠EDO=90°即可.

詳解：(1)如圖，連接AD ,

∵AC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，

∴∠CAB=∠ADB=90°，

∴ΔCAB,ΔCAD均是直角三角形.

∴∠CAD=∠B=30°.

在RtΔCAB中，AC=ABtan30°=

∴在RtΔCAD中，CD=ACsin30°=

（2）如圖，連接OD，AD.

∵AC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，

∴∠CAB=∠ADB=∠ADC=90°，

又∵E為AC中點，

∴DE=CE=EA，　

∴∠EDA=∠EAD.

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠DAO，

∴∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠DAO.

即：∠EDO=∠EAO=90°.　

又點D在⊙O上，因此DE與⊙O相切.

點睛：考查解直角三角形，圓周角定理，切線的判定與性質等，屬于圓的綜合題，比較基礎.注意切線的證明方法，是高頻考點.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】課外活動時間，甲、乙、丙、丁4名同學相約進行羽毛球比賽.

（1）如果將4名同學隨機分成兩組進行對打，求恰好選中甲乙兩人對打的概率；

（2）如果確定由丁擔任裁判，用“手心、手背”的方法在另三人中競選兩人進行比賽．競選規則是：三人同時伸出“手心”或“手背”中的一種手勢，如果恰好只有兩人伸出的手勢相同，那么這兩人上場，否則重新競選.這三人伸出“手心”或“手背”都是隨機的，求一次競選就能確定甲、乙進行比賽的概率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：列舉出將4名同學隨機分成兩組進行對打所有可能的結果，找出甲乙兩人對打的情況數，根據概率公式計算即可.

畫樹狀圖寫出所有的情況，根據概率的求法計算概率.

詳解：（1）甲同學能和另一個同學對打的情況有三種：

（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁）

則恰好選中甲乙兩人對打的概率為：

（2）樹狀圖如下：

一共有8種等可能的情況，其中能確定甲乙比賽的可能為（手心、手心、手背）、（手背、手背、手心）兩種情況，因此，一次競選就能確定甲、乙進行比賽的概率為.